Verwijzing van LINK: De mensheid houdt zich al heel lang met waarschijnlijkheid, kans en risico bezig. De archeologen hebben in Mesopotamië dobbelstenen van 5000 jaar oud, gemaakt uit dierenbotten, gevonden. Heel veel gedachten rond waarschijnlijkheid hebben dan ook hun oorsprong bij kansspelen die de mensheid blijkbaar al heel lang fascineren.

Wat noemen we waarschijnlijkheid?

Van waarschijnlijkheid kan enkel sprake zijn als we een proces hebben dat tot meerdere verschillende resultaten kan leiden. Als we bij voorbeeld een teerling werpen zijn er zes uitkomsten mogelijk:

De waarschijnlijkheid van een uitkomst is het aantal keren dat die uitkomst zal optreden gedeeld door het totaal aantal herhalingen als we het experiment oneindig dikwijls uitvoeren. Waarschijnlijkheid is dus als een limiet gedefinieerd, maar dat gaat al verder dan we hier nodig hebben.

Indien nu alle uitkomsten even waarschijnlijk zijn zal dat eenvoudige redeneringen toelaten. We kunnen dan alle mogelijke uitkomsten opschrijven en het aantal uitkomsten dat aan de criteria die we gesteld hebben beantwoordt delen door het totaal aantal mogelijke uitkomsten. Dat quotiënt geeft ons dan de waarschijnlijkheid.

Wat is de waarschijnlijkheid met een dobbelsteen een 2 te gooien? We zien alle uitkomsten hierboven opgesteld. Het zijn er zes. Eén daarvan beantwoordt aan onze criteria: een 2. Dus is de waarschijnlijkheid daarvan 1/6.

In realiteit zal het verloop anders zijn. In onderstaande simulatie kan je n (het aantal worpen) bepalen door het bolletje op de groene balk te verschuiven:

 

Als we twee dobbelstenen gooien wordt het iets ingewikkelder. Wat is nu de waarschijnlijkheid dat we een twee en een drie als resultaat krijgen?

We gaan als volgt te werk:

We schrijven alle mogelijke uitkomsten op, dus 1 1, 1 2,…1 6, 2 1, 2 2…

Dat zijn er 36.

Dan kijken we hoeveel uitkomsten aan ons criterium beantwoorden.

Dat zijn er twee: 2 3 en 3 2 (oppassen geblazen hier)

Dus is de waarschijnlijkheid voor ons criterium 2/36 = 1/18.

Een simulatie van de evolutie (verdeling):

We kunnen dat nu verder zo ingewikkeld maken als we willen: de redenering gaat altijd op dezelfde manier.

 

Dat opschrijven en tellen kan, bij ingewikkelder gevallen, een nogal moeizame aangelegenheid worden en wiskundigen zijn van nature – als het op stompzinnig werk aankomt – eerder lui. Dus vinden ze in ieder geval zogenaamde productieregels die het tellen overbodig maken. Daar stoten we dan op combinatieleer: permutaties, variaties en combinaties. Zo ver hoeven we hier niet te gaan en dat is eigenlijk een beetje jammer: het is een fascinerende wereld!

Dan kunnen we ook nog de wereld van de discrete getallen verlaten en continue functies gaan bestuderen. Ook dat kunnen we ons hier besparen.

Maar met machines die uit veel componenten bestaan moeten we ons wel bezig houden.

Stel dat alle componenten dezelfde waarschijnlijkheid p hebben om correct te functioneren. Wat is dan de waarschijnlijkheid P_n dat een machine met n componenten werkt?

Beginnen we met één component. Dan is

P₁ = p

Voegen we een component toe. Nu is intuïtief te zien dat

P₂ = p • p = p²

Door voortzetting van de reeks zien we dat bij n componenten

P_n = pⁿ

Meer moeten we op dit ogenblik niet weten.

Mensen met een humanistische vorming die – wat ik altijd vurig hoop – toch iets meer van deze problematiek willen begrijpen zullen het volgend boek zeker interessant, misschien zelfs fascinerend vinden:

Against the Gods: The Remarkable Story of Risk.

Peter L. Bernstein

Wiley

ISBN-10: 9780471295631